Математика
Булевите функции се базират на двоичната бройна система, тоест тя е основа на булевата алгебра въобще. Както знаем двоичната бройна система това е множеството Е с елементи 0 и 1. От гледна точна на теорията на информацията нулата се приема за неистина или за твърдение което е невярно, единицата пък за истина или твърдение, което се приема за вярно. Върху тази основа се базират всички булеви операции и функции. Така според истинността си твърдението приема съответно нула или единица. Всяка операция се реализира от определени операции извършвани върху логическите променливи. Това налага възникването на булевата алгебра и булевите функции. Тази математика определяме като абстрактна защото има свой собствени теореми, свойства и действия. Благодарение на булевата алгебра е възможно съществуването на цифровите технологии.
Логическите /булеви/ функции се представят в няколко основни форми:
логическа формула - алгебрична /аналитична/ форма напр. F0(X) = 0 const;
таблица на истинността - таблица за състоянието на функциите, в която непосредствено се указва нейното значение за всички възможни комбинации от логически значения на променливи;
времева диаграма - графика на зависимостта между състоянието на функцията по отношение на интервал от време, наречен такт. Например в даден момент графиката може да има своя максимум - логическа единица, или своя минимум - логическа нула;
пространствена диаграма - изразява таблицата на истинността в декартови координати;
логически схеми - състоят се от логически елементи, условно изобразяващи определени логически /булеви/ функци;
таблица на Вен - графичен метод за представяне на съответната функция.
Нека да разгледаме някои от вече познатите ни булеви функции с разширено представяне:
Така например функциите еквивалентност /тъждествена функция/ и отрицание
Така изглежда тъждествената функция според математическата си формула
А така изглежда функцията логическо отрицание
Това пък са двете функции според диаграмата на Вен
Всяка булева функция си има свое логическо означение което намира своето място при конструирането на дадено логическо устройство.
Като логическа интерпретация можем да определим тъждествената функция така: тя е вярна ако и твърдението Х от което тя произхожда също е вярно.
От друга страна за логическото отрицание имаме: то е вярно ако твърдението Х, върху което е приложено е невярно и обратно - приема стойност 0 ако Х има стойност 1.
Булевите функции на две променливи са малко по сложни, тъй като включват в себе си две независими променливи. Тук броят им е 16 докато при една променлива имаме 4 функции.
Нека разгледаме някои от тях:
Функцията логическо ИЛИ /OR, дизюнкция/
Ако трябва да използваме таблица за истинността нейният вид ще е следният:
Логическата интерпретация на тази функция е, че тя е вярна тогава и само тогава когато поне едно от твърденията е вярно, когато и двете твърдения са неверни, то тогава имаме и логическа нула на изхода на системата.
На диаграмата на Вен е показана разликата между функциите логическо и и логическо или. При функция на две променливи логическото и е представено като всяка точка от двете множества, докато логическото или е само онази област от двете множества, където те се припокриват.
Друга често използвана бинарна функция това е логическото умножение /конюнкция/
Тя приема логическа стойност единица тогава и само тогава когато и двете твърдения са верни. При всички други ситуации имаме логическа нула.
Друг интересен момент са логическите тъждества с три променливи
Тук броят на функциите нараства експоненциално те са 256.
Като пример тук е посочен логически оператор И верен тогава и само тогава когато и трите твърдения са верни.
Освен познатото ни от курса по дискретна математика съществуват и други тъждества на де Морган, а именно:
1)Отрицанието на логическата сума на две променливи е еквивалентно на произведението на техните отрицания:
2) Отрицанието на логическото произведение на две променливи е равно на сумата на техните отрицания:
Доказателство на горепосочените закони.
Същите тъждества разгледани на базата на диаграмата на Вен.
Същите тъждества разглеждани в таблица на Ексел.
|
